Insieme denso

N'insieme $S\in X$, 'ndoe che $X$ el xe un spassio topoƚogico, el se dixe denso so $X$ se ogni ponto $x\in X$ el sta anca in $S$ o 'l xe ponto d'acumulassion par $S$.

Definission conpagne

A seconda de ƚa strutura de $X$ ghe xe on fià de definissioni conpagne.

X spassio mètrico

Se $X$ el xe un spassio mètrico, eora $S$ el xe denso so $X$ se (e soƚo se) ${\overline {S}}=X$.

X spassio normà

Se $X$ el xe un spassio normà (overo un spassio vetoriaƚe cò na norma $\|\cdot \|$), eora $S$ el se dixe denso so $X$se vaƚe una de ste dò (che ƚe xe conpagne):

• $\forall x\in X,\forall \epsilon >0\exists s\in S$ t.c. $\|x-s\|<\epsilon$ ;
• $\forall x\in X\;\exists \{s_{i}\}_{i\in \mathbb {N} }\in S$ t.c. $s_{i}\longrightarrow x$ .

Se invese ghemo na serie $S_{0}\subset S_{1}\subset ...$ de sotinsiemi de $X$ (cò $S_{0}\neq \varnothing$), eora se mostra che $E_{n}(x):=\inf _{s_{n}\in S_{n}}\|x-s_{n}\|\longrightarrow 0\;\forall x\in X$ se e soƚo se $\bigcup _{n\in \mathbb {N} }S_{n}$ el xe denso so $X$.

Exenpi

${\overline {\mathbb {Q} }}=\mathbb {R}$ 'nte ƚa topoƚogia euclidea, cussita $\mathbb {Q}$ el xe denso so $\mathbb {R}$.

Ƚe funsioni continue so n'intervaƚo $[a,b]\subset \mathbb {R}$ se poe scrivare fà limiti uniformi de na serie de poƚinomi, cussita $\bigcup _{n\in \mathbb {N} }\mathbb {P} _{n}$ el xe denso so $\left({\mathcal {C}}([a,b]),\|\cdot \|_{\infty }\right)$ .