Spasio vetorial

Sto articoło el xe scrito in padoan

Se dixe spasio vetoriàłe sóra 'n canpo $C$$C$ n'insieme $V$$V$ cò dò operasion: $+:V\times V\rightarrow V$$+:V\times V\rightarrow V$, ciamàda sòma, che xe comutativa e $*:C\times V\rightarrow V$$*:C\times V\rightarrow V$, ciamàda moltiplicasion par 'no scałare, che łe ga ste proprietá:

(i) $\alpha *(\beta *v)=(\alpha *\beta )v$$\alpha *(\beta *v)=(\alpha *\beta )v$

(ii) $(\alpha +\beta )*v=\alpha *v+\beta *v$$(\alpha +\beta )*v=\alpha *v+\beta *v$

(iii) $\alpha *(v+w)=\alpha *v+\alpha *w$$\alpha *(v+w)=\alpha *v+\alpha *w$

(iv) $1*v=v$$1*v=v$

par ogni $v,w\in V$$v,w\in V$ e par ogni $\alpha ,\beta \in C$$\alpha ,\beta \in C$.

I elementi de 'no spasio vetoriałe i se ciàma vetòri. El vetòre xèro 'l xe l'elemento $0_{V}$$0_{V}$ xèro de ła sòma in $V$$V$ (xe fasiłe controłàre che 'l sodisfa łe proprietà de sòra).

'N sotoinsieme $W$$W$ de $V$$V$ 'l se dixe sotospasio vetoriałe de $V$$V$ (e 'l se scrive $W\trianglelefteq V$$W\trianglelefteq V$) se xe vera una de ste proprietà (łe xe tute conpagne, se ła xe vera una ełora łe xe vere anca łe altre dò, se una ła xe sbajà ełora łe xe sbajà anca łe altre dò):

(i) $u,w\in W,\alpha ,\beta \in C\Rightarrow \alpha u+\beta w\in W$$u,w\in W,\alpha ,\beta \in C\Rightarrow \alpha u+\beta w\in W$;

(ii) $u,w\in W,\alpha ,\beta \in C\Rightarrow u+v\in W$$u,w\in W,\alpha ,\beta \in C\Rightarrow u+v\in W$ e $\alpha u\in W$$\alpha u\in W$;

(iii) $W$$W$ 'l xe sarà par combinasioni lineari: $\alpha _{1}w_{1}+...+\alpha _{k}w_{k}\in W$$\alpha _{1}w_{1}+...+\alpha _{k}w_{k}\in W$ $\forall w_{i}\in W,\forall \alpha _{i}\in C$$\forall w_{i}\in W,\forall \alpha _{i}\in C$.

'N exenpio de spasio vetoriałe sarìa $\mathbb {R}$${\mathbb {R}}$, o anca mejo sarìa $\mathbb {R} ^{n}$$\mathbb {R} ^{n}$. $\mathbb {Q} \trianglelefteq \mathbb {R}$$\mathbb {Q} \trianglelefteq \mathbb {R}$ (risp. $\mathbb {Q} ^{n}\trianglelefteq \mathbb {R} ^{n}$$\mathbb {Q} ^{n}\trianglelefteq \mathbb {R} ^{n}$) xe 'n exenpio de sotospasio.