Limite

In matemadega, el conceto de limite descrive come che na funsion la va man man che el so argomento el va vissin a un vaeor determinà o come che na succession la va man man che el so indice cresse all'infinito.

I limiti se dopara in tutte e parti dell'anaisi matemadega, ad esempio i se dopara par dire quando che na funsion xe continua, cossa che la ze na derivada o cossa chel xe on integral.

Nea storia

L'idea de limite gera za 'sta intuia in anni antichi, Archimede la gheva pensà inte el so metodo de esaustion e Newton Leibniz, Eulero e D'Alembert la gheva doparà un fià alla bona ala fin del 1600.

A prima definission de limite co un fià pì de criterio ze 'sta data da Cauchy inte el 1800, fin rivare a quea ultima che ga dato Weierstrass

El conceto ze sta tracià par intiero soeo par merito de Heine che inte el 1872 ga fato suceso publicando on testo dove chel scriveva e regoe e le proprietà del limite.

Altri studiusi se ga interessà ala roba, 'ndando a fondo man man che li studiava l'anaisi infinitesimae. Nomi importanti ze Bolzano, Dedekind e Cantor.

Ze parò soeo inte el 1922 che Eliakim Hastings Moore ed H.L. Smith ga dato na idea generae del limite (topoeogica) , che xe quea che al dì de on'co doparemo in matematica. Inte el 1937, Henri Cartan ga dato on idea compagna usando el conceto de filtro.

Limite de na succession

Na succession $\{a_{n}\}$ de numari reai ga come limite el numaro $a$ se, man man che cresse $n$ i termini dea succession "i ze pitosto vissini" al vaeore $a$.

Par fare i figheti, 'sta idea vien data con $\varepsilon >0$ picenin quanto che ti vol ghe sie on numero natural $N$ chel fasse in modo che $|a_{n}-a|<\varepsilon$ par ogni $n>N$.

Na succession poe anca no aver limite,

par esempio $a_{n}=(-1)^{n}$

che vien data da:

$1,-1,1,-1,1,-1,\ldots$ no ga limite.

Parò, se esiste el limite $a$, se dixe che a succession converse a $a$;

in sto caso el limite xe uno soeo (na succession no poe converzare a do vaeori diversi).

Ad esempio, a sucession $a_{n}=1/n$, data da:

$1,1/2,1/3,1/4,\ldots$ converse a zero.

Se ciapemo on spassio topologico $X$,

na succession $x_{n}$ con $n\in \mathbb {N}$ ga tendense verso el limite $a\in X$ se, comunque se ciape on intorno $B$ de $a$,

ghe xe on $N$ in modo che $x_{n}\in B$ par tuti i $n>N$,

e se scrive:

$\lim _{n\to \infty }x_{n}=a$

Se $X$ xe on spassio de Hausdorff, se ghe xe el limite de $x_{n}$ che ga $n\in \mathbb {N}$, non ghin xe altri.

Dai libri

• (EN) Moore E.H., Smith H.L., "A General Theory of Limits". American Journal of Mathematics 44 (2), 102–121 (1922).
• (EN) Miller, N. Limits: An Introductory Treatment. Waltham, MA: Blaisdell, 1964.
• (EN) Gruntz, D. On Computing Limits in a Symbolic Manipulation System. Doctoral thesis. Zürich: Swiss Federal Institute of Technology, 1996.
• (EN) Hight, D. W. A Concept of Limits. New York: Prentice-Hall, 1966.
• (EN) Kaplan, W. "Limits and Continuity." §2.4 in Advanced Calculus, 4th ed. Reading, MA: Addison-Wesley, pp. 82–86, 1992.

Vozi coegae

• Convergensa
• Forma indeterminà
• Limite de na funsion
• Limite de na succession
• Limite insiemistico
• Limite notevoe
• Limite de sora e limite de soto
• Regola de De L'Hôpital
• Stima asintotica

Altri progetti

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