Poƚinomi ortogonaƚi

Sia dà un spassio de Hilbert

$L_{w}^{2}((a,b),\|\cdot \|_{w}):=\{f$ misurabile tc $\int _{a}^{b}|f(x)|^{2}w(x)dx<+\infty \}$

còl prodoto scaƚare

$(f,g)_{2,w}:=\int _{a}^{b}f(x)\cdot g(x)\;w(x)dx$

e sia $w:(a,b)\rightarrow \mathbb {R} ^{\geq 0}$ na funsion péxo, overo tc

• $\int _{a}^{b}w(x)|x|^{n}dx<+\infty \;\forall n$;
• $\int _{a}^{b}g(x)w(x)dx=0$ par $g:(a,b)\rightarrow \mathbb {R} ^{\geq 0}$ continua $\Rightarrow g\equiv 0$ in $(a,b)$.

Na famèja triangoƚare de poƚinomi $\{\phi _{k}\}_{k=0,...,n}$ ('ndoe che $\deg(\phi _{k})=k$) se dixe ortogonaƚe par $w$ se

$(\phi _{i},\phi _{j})_{2,w}=a_{i}\delta _{i}j$ cò $a_{j}>0$.

Exenpio

La famèja $\mathbb {P} _{n}$ dei poƚinomi de grado finìo ƚa sta drento lo spassio de sòra par tuti i $n\in \mathbb {N}$.
De fati $p_{n}\in \mathbb {P} _{n}\Rightarrow p_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}x^{k}\Rightarrow \|p\|_{2,w}=\|\sum _{k=0}^{n}a_{k}x^{k}\|\leq \sum _{k=0}^{n}|a_{k}|\|x^{k}\|$, che xe finìo parchè $\|x^{k}\|_{2,w}^{2}=\int _{a}^{b}|x|^{2k}x^{k}dx<+\infty$ par tute ƚe $k=0,...,n$.
Fissà $f\in L_{w}^{2}(a,b)$ e $n\in \mathbb {N}$, el problema dei minimi quadrati el diventa: càta fora el $p_{n}$ che rende pì ceo possibiƚe $\|f-p_{n}\|_{2,w}=\int _{a}^{b}|f(x)-p_{n}(x)|^{2}w(x)dx$.
Cò Gram-Schmit semo boni de catarse na famèja de poƚinomi ortogonaƚi $\phi _{0},...,\phi _{n}$, che poe far da baxe ortonormaƚe de $\mathbb {P} _{n}$.
Xe inportante notare che cussita ghemo che $(\phi _{n+1},p_{n})_{2,w}=0$.